পিথাগোরাসের উপপাদ্য

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - পিথাগোরাসের উপপাদ্য | | NCTB BOOK

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

(দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°

অঙ্কন : BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন CD = AB = c হয়।

D বিন্দুতে বর্ধিত BC এর উপর DE লম্ব আঁকি, যেন DE = BC = a হয়। C, E ও A, E যোগ করি।

প্ৰমাণ :

ধাপ	যথার্থতা
(১) ∠ABC ও ACDE এ AB = CD = c, BC = DE = a এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE সুতরাং, ∆ABC ≅ ∆CDE ∴ AC = CE = b এবং ∠BAC = ∠ECD (২) আবার, AB ⊥ BD এবং ED ⊥ BD বলে AB \|\| ED সুতরাং, ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম। (৩) তদুপরি, ∠ACB + ∠BAC = ∠ACB + ∠ECD = এক সমকোণ। ∴ ∠ACE = এক সমকোণ। ∴ ∆ACE সমকোণী ত্রিভুজ। এখন ABDE ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ∆ ক্ষেত্র ABC + ∆ ক্ষেত্র CDE + ∆ ক্ষেত্র ACE) বা, $\frac{1}{2} B D (a b + D E) = \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} b^{2}$ বা, $\frac{1}{2} (B C + C D) (A B + D E) = \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} b^{2}$ বা, (a + c) (a + c) = 2ac + b^{2 [}2 দ্বারা গুণ করে] বা, a² + 2ac + c² = 2ac + b² ∴ b² = c² + a² (প্রমাণিত)	[প্রত্যেকে সমকোণ] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] ∴ ∠BAC = ∠ECD [ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল x সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব]

ধাপ

যথার্থতা

(১) ∠ABC ও ACDE এ AB = CD = c, BC = DE = a

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE

সুতরাং, ∆ABC ≅ ∆CDE

∴ AC = CE = b এবং ∠BAC = ∠ECD

(২) আবার, AB ⊥ BD এবং ED ⊥ BD বলে AB || ED

সুতরাং, ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম।

(৩) তদুপরি, ∠ACB + ∠BAC = ∠ACB + ∠ECD = এক সমকোণ।

∴ ∠ACE = এক সমকোণ। ∴ ∆ACE সমকোণী ত্রিভুজ।

এখন ABDE ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= ( ∆ ক্ষেত্র ABC + ∆ ক্ষেত্র CDE + ∆ ক্ষেত্র ACE)

বা, $\frac{1}{2} B D (a b + D E) = \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} b^{2}$

বা, $\frac{1}{2} (B C + C D) (A B + D E) = \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} a c + \frac{1}{2} b^{2}$

বা, (a + c) (a + c) = 2ac + b^{2 [}2 দ্বারা গুণ করে]

বা, a² + 2ac + c² = 2ac + b²

∴ b² = c² + a² (প্রমাণিত)

[প্রত্যেকে সমকোণ]

[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

∴ ∠BAC = ∠ECD

[ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল x সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব]

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ

(সদৃশকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ZC = 90° এবং অতিভুজ AB = C, BC = a, AC = b প্রমাণ করতে হবে যে, AB² = AC² + BC²

অর্থাৎ c² = a² + b²

অঙ্কন : C বিন্দু থেকে অতিভুজ AB এর উপর লম্ব CH অঙ্কন করি। AB অতিভুজ H বিন্দুতে d ও e অংশে বিভক্ত হলো।

প্ৰমাণ :

ধাপ	যথার্থতা
∆ВСН ও ∆АВС এ ∠BHC = ∠ACB এবং ∠CBH = ∠ABC (১) ∴ ∆CBH ও ∆ABC সদৃশ। ∴ $\frac{B C}{A B} + \frac{B H}{B C}$ ∴ $\frac{a}{c} + \frac{e}{a}$ … …(1) (২) অনুরূপভাবে ∆ACH ও ∆ABC সদৃশ৷ ∴ $\frac{b}{c} = \frac{d}{b}$ … … (2) (৩) অনুপাত দুইটি থেকে পাই, a² = c × e, b² = c × d অতএব, a² + b² = c × e + c × d = c (e + d) = c × e = c² ∴ c 2 = a2 + b2 [প্রমাণিত]	প্রত্যেকেই সমকোণ সাধারণ কোণ [(i) উভয় ত্রিভুজ সমকোণী (ii) ZA কোণ সাধারণ] ∵ c = e + d

ধাপ

যথার্থতা

∆ВСН ও ∆АВС এ

∠BHC = ∠ACB এবং

∠CBH = ∠ABC

(১) ∴ ∆CBH ও ∆ABC সদৃশ।

∴ $\frac{B C}{A B} + \frac{B H}{B C}$

∴ $\frac{a}{c} + \frac{e}{a}$ … …(1)

(২) অনুরূপভাবে ∆ACH ও ∆ABC সদৃশ৷

∴ $\frac{b}{c} = \frac{d}{b}$ … … (2)

(৩) অনুপাত দুইটি থেকে পাই,

a² = c × e, b² = c × d

অতএব, a² + b² = c × e + c × d

= c (e + d) = c × e = c²

∴ c 2 = a2 + b2 [প্রমাণিত]

প্রত্যেকেই সমকোণ

সাধারণ কোণ

[(i) উভয় ত্রিভুজ সমকোণী

(ii) ZA কোণ সাধারণ]

∵ c = e + d

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ

(বীজগণিতের সাহায্যে)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য বীজগণিতের সাহায্যে সহজেই প্রমাণ করা যায়।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের
অতিভুজ c এবং a, b যথাক্রমে অন্য দুই বাহু।

প্রমাণ করতে হবে, c² = a² + b²

অঙ্কন : প্রদত্ত ত্রিভুজটির সমান করে চারটি ত্রিভুজ চিত্রে প্রদর্শিত উপায়ে আঁকি।

প্ৰমাণ :

ধাপ	যথার্থতা
(১) অঙ্কিত বড় ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল (a + b)² (২) ছোট চতুৰ্ভুজ ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল c² (৩) অঙ্কনানুসারে, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল চারটি ত্রিভুজক্ষেত্র ও ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, ${(a + b)}^{2} = 4 \times \frac{1}{2} \times a \times b \times c^{2}$ বা, a² + 2ab + b² = 2ab+c² ∴ c² = a² + b² (প্রমাণিত)	[বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a+b এবং কোণগুলো সমকোণ] [বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য c]

ধাপ

যথার্থতা

(১) অঙ্কিত বড় ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র।

এর ক্ষেত্রফল (a + b)²

(২) ছোট চতুৰ্ভুজ ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র।

এর ক্ষেত্রফল c²

(৩) অঙ্কনানুসারে, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল চারটি ত্রিভুজক্ষেত্র ও ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, ${(a + b)}^{2} = 4 \times \frac{1}{2} \times a \times b \times c^{2}$

বা, a² + 2ab + b² = 2ab+c²

∴ c² = a² + b² (প্রমাণিত)

[বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a+b এবং কোণগুলো সমকোণ]

[বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য c]

কাজ : ১। (a–b)²এর বিস্তৃতির সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ কর।

Content added || updated By

Rezwan Siddiki Tamim

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion